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知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积 函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为y?f(x),由题意可知: 又点(e2d1[f(x)]?,?f(x)?ln|x|?C; dxx,3)在曲线上,适合方程,有3?ln(e2)?C,?C?1, 所以曲线的方程为 f(x)?ln|x|?1. ★★6、一物体由静止开始运动,经秒后的速度是3tt2(m/s),问: (1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完360米需要多少时间? 知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的 关系。 思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。 解:设物体的位移方程为:y?f(t), 则由速度和位移的关系可得: d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C, dtf(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。 又因为物体是由静止开始运动的,?(1) 3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?33?27米; 3(2)令t?360?t?3360秒。 习题4-2 ★1、填空是下列等式成立。 知识点:练习简单的凑微分。 思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。 解:(1)dx?111d(7x?3);(2)xdx??d(1?x2);(3)x3dx?d(3x4?2); 72121dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5 1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).223cos2x21?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。 知识点:(凑微分)第一换元积分法的练习。 思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形 式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍! ★(1) 3te?dt 6 思路:凑微分。 解:e3tdt??13t13ted(3t)?e?C 3?33★(2) ?(3?5x)dx 3思路:凑微分。 311解:?(3?5x)dx???(3?5x)d(3?5x)??(3?5x)4?C 5201★(3)?3?2xdx 思路:凑微分。 解: 1111dx??d(3?2x)??ln|3?2x|?C. ?3?2x?23?2x2★(4) ?135?3xdx 思路:凑微分。 12?11111dx???3d(5?3x)???(5?3x)3d(5?3x)??(5?3x)3?C. 解:?335?3x325?3x★(5) ?(sinax?exb)dx 思路:凑微分。 1x1解:?(sinax?e)dx??sinaxd(ax)?b?ebd()??cosax?beb?C aba★★(6) xbxx?costtdt 思路:如果你能看到d(t)?12tdt,凑出d(t)易解。 解: ?costtdt?2?costd(t)?2sint?C ★(7) 102tanxsecxdx ?思路:凑微分。 解:tan★★(8) ?10xsec2xdx??tan10xd(tanx)?1tan11x?C. 11dx?xlnxlnlnx 思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 7 解: dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)???xlnxlnlnx?lnxlnlnx?lnlnx?ln|lnlnx|?C 2?tan1?x★★(9) xdx1?x2 思路:本题关键是能够看到xdx1?x2 是什么,是什么呢?就是d1?x2!这有一定难度! 解:tan1?x?2xdx1?x2??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C ★★(10) dx?sinxcosx 思路:凑微分。 解: 方法一:倍角公式sin2x?2sinxcosx。 dx2dx??sinxcosx?sin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C 方法二:将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。 dxcosx112?dx?secxdx??sinxcosx?sinxcos2x?tanx?tanxdtanx?ln|tanx|?C 方法三: 三角公式sinx?cosx?1,然后凑微分。 22dxsin2x?cos2xsinxcosxdcosxdsinx?dx?dx?dx????sinxcosx?sinxcosx?cosx?sinx?cosx?sinx ??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C ★★(11) dx?ex?e?x 。 dxexdxdexdex???思路:凑微分:xe?e?xe2x?11?e2x1?(ex)2dxexdxdexx???arctane?C 解:?x?x2xx2??e?ee?11?(e)★(12) 2xcos(x)dx ?思路:凑微分。 解:xcos(x)dx?★★(13) ?21122cosxdx?sinx2?C ?22?xdx2?3x2 8 思路:由1dx21d(2?3x2)???凑微分易解。 22222?3x62?3x2?3xxdx1?1d(2?3x2)112??????(2?3x)2d(2?3x2)??2?3x2?C 6632?3x22?3x2解: ?xdx★★(14) ?cos2(?t)sin(?t)dt 思路:凑微分。 解:cos2(?t)sin(?t)dt??1?2cos?(?t)sin(?t)d?t??1?2cos?(?t)dcos(?t) ??1cos3(?t)?C. 3?3x3★★(15)?1?x4dx 思路:凑微分。 3x334x331313444解:dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 444?1?x4???41?x41?x41?x4★(16) sinx?cos3xdx 思路:凑微分。 解: sinx111dx??dcosx??C. 2?cos3x?cos3x2cosx★★(17) ?x92?xx920dx 思路:经过两步凑微分即可。 解: ?111dx??dx10??102?x20102?x2011?(x10d)2x101x10?arcsin()?C 21022★★(18) ?1?x9?4x2dx 思路:分项后分别凑微分即可。 解: ?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx 9 12x11d??d4x222x2389?4x1?()3112x11 ??d??d(9?4x2)222x2389?4x1?()312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?★★(19) 12?dx?2x2?1 思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解: dxdx111??(??2x2?1?(2x?1)(2x?1)2?2x?12x?1)dx ??122122?(?11?)d2x2x?12x?11111d(2x?1)?d(2x?1)?ln?2x?1222x?1222x?1?C.2x?1 ★(20) xdx?(4?5x)2 思路:分项后分别凑微分即可。 解: xdx14?5x?4111??()dx?(?4)d(4?5x) 2?(4?5x)2?5(4?5x)2?254?5x(4?5x)1141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C. 25?4?5x25?(4?5x)225254?5x?x2dx★(21)?(x?1)100 思路:分项后分别凑微分即可。 x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1??(?2?)dx 解:?100100100100100??(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)??(??111?2?)d(x?1) (x?1)98(x?1)99(x?1)100111111???C. 97989997(x?1)49(x?1)99(x?1) 10 12345>>10 |
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